نمایش اعداد گنگ(اصمّ) روی محور اعداد

<div style="text-align: center;"><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><span style="color: rgb(75, 75, 75); font-family: Tahoma; text-align: -webkit-right;">نمایش هندسی اعداد بر روی محور اعداد (خط حقیقی) همیشه از اهمیّت خاصی برخوردار بوده است. البته نمایش اعداد طبیعی،اعداد صحیح و اعداد گویا نسبتا ساده است ولی نمایش هندسی اعداد گنگ (اصمّ) نیازمند اطلاعات هندسی بیشتری می باشند حتی بعضی از مواقع مساله بغرنج تر می شود به این معنی که همه اعداد گنگ ترسیم پذیر نیستند.البته ما بنا نداریم به صورت پیشرفته وارد این بحث شویم بلکه فقط می خواهیم در حد ریاضیات اول دبیرستان مطالبی را ارائه دهیم. به زعم تاریخ به نظر می رسد اولین عدد گنگ که بشر به آن دست یافته است</span><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><span style="font-family: Tahoma; text-align: -webkit-right;"></span><span style="color: rgb(0, 0, 0);"><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px; color: rgb(75, 75, 75); font-family: Tahoma; text-align: -webkit-right; background-color: rgb(39, 39, 39);" /></span></span></span><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><span style="color: rgb(75, 75, 75); font-family: Tahoma; text-align: -webkit-right;"></span></span><span style="color: rgb(75, 75, 75); font-family: Tahoma; text-align: -webkit-right;">می باشد . در تاریخ ریاضیات آمده است که کسی که راز اعداد گنگ را فاش کرد سوزانده شد.گرچه گرفتن جان یک انسان تنفر برانگیز بوده و هیچ عقل سلیمی آن را نمی پسندد ولی فاش شدن این راز دریچه جدیدی از ریاضیات را به سوی بشر گشود.در ادامه ترجیح می دهم به بحث ساده ی خودمون یعنی نمایش اعداد گنگ بر روی محور اعداد بپردازم.</span></span></div><div style="text-align: center;"></div><div style="text-align: center;"></div><div style="text-align: center;"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106704226/sqrt2minoomath_ir.gif" alt="" /></div><p style="text-align: center;"></p><div></div><div><br /><div class="div21" style="width: 700px; float: left; text-align: right; direction: rtl; font-family: Tahoma; background-color: rgb(39, 39, 39);"><div class="div55" style="width: 30px; height: 25px; float: left;"></div><div class="div56" style="width: 620px; float: left;"><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><font class="text4" style="font-size: 8pt; color: rgb(75, 75, 75);"><div id="InPost_MihanblogShopAds" style="height: 0px; width: 620px; border: 0px;"></div></font><div align="center"></div></span><div align="center"><div align="right"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><span style="background-color: rgb(255, 255, 255);"><font class="text4" style="font-size: 8pt; color: rgb(75, 75, 75);"><font size="3">نمایش هندسی اعداد بر روی محور اعداد (خط حقیقی) همیشه از اهمیّت خاصی برخوردار بوده است. البته نمایش اعداد طبیعی،اعداد صحیح و اعداد گویا نسبتا ساده است ولی نمایش هندسی اعداد گنگ (اصمّ) نیازمند اطلاعات هندسی بیشتری می باشند حتی بعضی از مواقع مساله بغرنج تر می شود به این معنی که همه اعداد گنگ ترسیم پذیر نیستند.البته ما بنا نداریم به صورت پیشرفته وارد این بحث شویم بلکه فقط می خواهیم در حد ریاضیات اول دبیرستان مطالبی را ارائه دهیم. به زعم تاریخ به نظر می رسد اولین عدد گنگ که بشر به آن دست یافته است<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />می باشد . در تاریخ ریاضیات آمده است که کسی که راز اعداد گنگ را فاش کرد سوزانده شد.گرچه گرفتن جان یک انسان تنفر برانگیز بوده و هیچ عقل سلیمی آن را نمی پسندد ولی فاش شدن این راز دریچه جدیدی از ریاضیات را به سوی بشر گشود.در ادامه ترجیح می دهم به بحث ساده ی خودمون یعنی نمایش اعداد گنگ بر روی محور اعداد بپردازم.<br /><br /> در حد کتاب درسی معمولا اعداد گنگ<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />،<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{3}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />،<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{5}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />،<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{8}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /> بیشتر ظاهر می شوند و دانش آموزان معمولا با یاد گرفتن رسم این اعداد می توانند از عهده حل تمرینات و سئوالات امتحانی برآیند به همین دلیل ما نیز بیشتر به این اعداد و مشتقات آن ها می پردازیم .</font><br /><font size="3">برای ساختن طول هایی به اندازه اعداد گنگ بالا از قضیه فیثاعورس کمک می گیریم.روش ساخت راذیلا شرح می دهم:</font><br /><font size="3">برای ساخت طولی به اندازه<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 باشند وتر این مثلث برابر<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />است.<br /><br /> برای ساخت طولی به اندازه<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{3}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر1 و<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />باشند وتر این مثلث برابر<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{3}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />است.<br /></font><br /><font size="3"><font size="3">برای ساخت طولی به اندازه</font></font><font size="3"><font size="3"><font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{5}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /></font>از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر1 و 2باشند وتر این مثلث برابر</font></font><font size="3"><font size="3"><font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{5}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /></font>است.<br /></font></font><font size="3"><font size="3"><br /><font size="3"><font size="3">برای ساخت طولی به اندازه</font></font></font></font></font><font size="3"><font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{8}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /></font>از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 2 و 2باشند وتر این مثلث برابر</font><font size="3"><font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{8}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /></font>است.<br /></font></span><font size="3"><br /><br /></font></span><div align="center"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106534192/irrational_numbers.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><font size="3"><br /></font></span><div align="right"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3">برای پیداکردن نقطه متناظر با اعداد گنگ کافیست ما همین مثلث ها را روی محور اعداد بسازیم.مثلا برای پیدا کردن نقطه متناظر با عدد<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />کافیست پاره خط بین صفر و یک را یک ضلع مثلث در نظر گرفته و در نقطه1 پاره خطی به طول 1 عمود کنیم و نقطه انتهایی پاره خط عمود را به مبداء وصل کنیم تا مثلث قائم الزاویه ساخته شود با توجه به توضیحات ارائه شده طول وتر برابر<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />می باشد. اکنون به مرکز مبداء وشعاعی برابر طول وتر این مثلث دایره ای رسم می کنیم (چون<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />مثبت است کافیست کمانی از دایره را رسم کنیم که محور را در سمت راست مبداء قطع می کند) نقطه برخورد دایره با محور را مشخص می کنیم این نقطه متناظر عدد<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{2}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />است. انیمیشن زیر توضیحات بالا را تکمیل خواهد کرد.</font><br /></span></div></div></div><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><br /><img src="http://s5.picofile.com/file/8106704226/sqrt2minoomath_ir.gif" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><br /></span><div align="right"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3">در ادامه نقاط متناظر با اعداد گنگ دیگری را روی محور نمایش می دهیم.</font><br /><br /><font size="3">رسم<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{3}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />به دو روش:<br /><br /></font><br /></span><div align="center"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106534684/sqrt3.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><br /><img src="http://s5.picofile.com/file/8106534592/sqrt3_2.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /></span></div></div><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><br /><br /><font size="3">بقیه بحث را در ادامه مطلب ببینید...</font><br /></span></div><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3">روش رسم<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{5}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />:<br /><br /></font></span><div align="center"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106534800/sqrt5.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><br /></span><div align="right"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3">روش رسم<font size="3"><font size="3"><font size="3"><font size="3"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?largeamp;space;sqrt{8}" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" />:<br /><br /></font></font></font></font></font></span><div align="center"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106534918/sqrt8.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><br /></span><div align="right"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3">در ادامه اعداد گنگی را رسم می کنیم که به صورت ترکیب یک عدد صحیح و یک عدد رادیکالی می باشند:</font><br /><br /><br /></span><div align="center"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><img src="http://s5.picofile.com/file/8106533118/irr1.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /><br /><br /><img src="http://s5.picofile.com/file/8106533718/irr2.jpg" alt="" align="absmiddle" border="0" hspace="0" vspace="0" style="max-width: 620px;" /><br /></span></div></div></div></div></div><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><font size="3"><br /></font></span><blogextendedpost><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><br /><br /></span></blogextendedpost><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><br /></span><span style="color: rgb(255, 255, 255);"><br /></span></div></div><div class="div26" style="width: 700px; height: 50px; float: left; font-family: Tahoma; background: url(http://mihanblog.com/public/public/user_data/template/2099937/mytheme.ir_19.jpg) 50px 0px no-repeat rgb(39, 39, 39);"></div></div><p style="text-align: center;"><span style="color: rgb(255, 255, 255);"></span></p>