<div></div><div><div class="title" style="font-size: 9pt; font-family: Tahoma; color: rgb(128, 0, 0); margin-bottom: 5px; text-align: center;"><a href="http://sjahan.blogfa.com/post-26.aspx" style="color: rgb(128, 0, 0); text-decoration: none; font-size: 9pt;">آموزش مجموعه ها- نظریه مجموعه ها</a></div><div class="body" style="font-family: Tahoma; font-size: 9pt; line-height: 1.5em; color: rgb(68, 68, 68); text-align: right;"><p dir="rtl"></p><p dir="rtl" style="text-align: center;"><< مجموعه چيست ؟ >> يا << به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ >></p><p dir="rtl" style="text-align: center;">اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : << مجموعه گردايه اي از اشياء است. >> مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...</p><p dir="rtl" style="text-align: center;">اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:<< گردايه چيست؟ >> . << گردايه، انبوهي از چيزهاست. >> و ...</p><p dir="rtl" style="text-align: center;">اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟</p><p dir="rtl" style="text-align: center;">در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.</p><p dir="rtl" style="text-align: center;">ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :</p></div></div><p style="text-align: center;"><span style="color: rgb(68, 68, 68); font-family: Tahoma; font-size: 9pt; line-height: 1.5em; text-align: right;">كانتور مي گويد : << مجموعه گردايه اي از اشياء متمايز در شعور ماست كه به اين اشياي ِ مجزا، اعضاي مجموعه مي گوييم. >></span></p><div></div><div><div class="title" style="font-size: 9pt; font-family: Tahoma; color: rgb(128, 0, 0); margin-bottom: 5px; text-align: right;"><a href="http://sjahan.blogfa.com/post-26.aspx" style="color: rgb(128, 0, 0); text-decoration: none; font-size: 9pt;">آموزش مجموعه ها- نظریه مجموعه ها</a></div><div class="body" style="font-family: Tahoma; font-size: 9pt; line-height: 1.5em; color: rgb(68, 68, 68); text-align: right;"><p dir="rtl"></p><p dir="rtl"><< مجموعه چيست ؟ >> يا << به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ >></p><p dir="rtl">اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : << مجموعه گردايه اي از اشياء است. >> مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...</p><p dir="rtl">اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:<< گردايه چيست؟ >> . << گردايه، انبوهي از چيزهاست. >> و ...</p><p dir="rtl">اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟</p><p dir="rtl">در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.</p><p dir="rtl">ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :</p><p dir="rtl">كانتور مي گويد : << مجموعه گردايه اي از اشياء متمايز در شعور ماست كه به اين اشياي ِ مجزا، اعضاي مجموعه مي گوييم. >></p><p dir="rtl"><< مجموعه ي تهي >><a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong>مجموعه</strong></a>اي كه هيچ عضوي ندارد، را با نماد {} يا<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/001.gif" />نمايش مي دهند. مجموعه ي ناتهي را به دو روش زير بين دو كمانك <<{>> و <<}>> نمايش مي دهند :</p><blockquote dir="rtl"><p>1.<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong>مجموعه</strong></a>را با نوشتن اعضاي تمام اعضايش نمايش مي دهيم و براي جدا كردن اعضا از كاما يا ويرگول استفاده مي كنيم. مانند :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/002.gif" /></p><p>2.<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong>مجموعه</strong></a>ي اشيايي كه در يك خاصيت معين صدق مي كنند. مثلا ً مجموعه ي اعداد طبيعي فرد را به صورت زير نمايش مي دهيم.</p><p>{x عددي فرد است | x عددي طبيعي است }</p></blockquote><p dir="rtl">به طور كلي اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/003.gif" />يك خاصيت درباره ي x باشد ،<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong>مجموعه</strong></a>ي تمام xهايي كه داراي خاصيت<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/003.gif" />هستند را با نماد<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/004.gif" />نمايش مي دهيم.در اصول موضوعه ي مجموعه ها، اين موضوع با اندكي تغيير، به << اصل تصريح >> مشهور است.</p><p>نام گذاري مجموعه ها :</p><p><a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong>مجموعه</strong></a>ها را با حروف بزرگ انگليسي نام گذاري مي كنند. البته براي<strong><a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;">مجموعه</a></strong>هاي مهم مانند مجموعه ي اعداد طبيعي، حسابي، گويا، حقيقي و مختلط از حروف خاصي استفاده مي شود كه به ترتيب عبارتند از :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/005.gif" />، W ،<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/006.gif" />،<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/007.gif" />،<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/008.gif" />و<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/009.gif" />كه به زودي آنها را معرفي خواهيم كرد.</p><p></p><p>نام گذاري و نمايش اعضاي مجموعه ها :</p><p dir="rtl">مرسوم است كه اعضاي يك<strong><a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;">مجموعه</a></strong>را با حروف كوچك انگليسي نام گذاري مي كنند. براي نمايش دادن مفهوم عضويت در مجموعه ها از نمادي با همين نام استفاده مي شود. << نماد عضويت >> ، <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/010.gif" />>> با دو پارامتر در دو طرف آن بكار مي رود. آنكه در سمت چپ ِ نماد قرار مي گيرد، عضوي از طرف راست آن است. پس به اين ترتيب، اگر A يك مجموعه و x عضوي از آن باشد، به صورت <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/011.gif" />>> نوشته مي شود كه << x عضوي از A است >> يا << x در A است >> خوانده مي شود.</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">اگر براي دو مجموعه ي A و B بنويسيم <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/012.gif" />>> به اين مفهوم است كه مجموعه ي B ، مجموعه ي A را به عنوان يك عضو داراست.</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">همچنين براي آنكه بخواهيم بگوييم << عضوي در مجموعه اي نيست >> از نماد << عدم عضويت>> ، <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/013.gif" />>> مانند نماد عضويت استفاده مي كنيم. پس در مثال قبل مي توانيم بنويسيم <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/014.gif" />>> كه خوانده مي شود << A در B نيست >> يا << A عضوي از B نيست. >> .</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">با اين نمادها مي توانيم مجموعه هاي اعداد طبيعي، حسابي، صحيح، گويا، گنگ، حقيقي و مختلط را به صورت نمادي نمايش دهيم. منظور ما از اين مجموعه ها به قرار زير است :</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">مجموعه ي اعداد طبيعي (<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/005.gif" />) :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/015.gif" />.</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">هر گاه بخواهيم بگوييم كه اعداد يا نماد ها به ترتيب خاصي كه از قبل شروع شده است، ادامه مي يابند از نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/016.gif" />>> استفاده مي كنيم.</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">مجموعه ي اعداد حسابي ( W ) :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/017.gif" />.</p><p dir="rtl">مجموعه ي اعداد صحيح (<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/006.gif" />) :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/018.gif" />.</p><p dir="rtl">مجموعه ي اعداد گويا (<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/007.gif" />) :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/019.gif" />.</p><p dir="rtl">مجموعه ي اعداد حقيقي (<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/008.gif" />) : مجموعه اي كه شامل تمام اعداد گويا و گنگ مي باشد.</p><p dir="rtl">اعداد گنگ :اعدادي هستند كه نمي توانيم آنها را به صورت عدد گويا نمايش دهيم مانند<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/020.gif" />،<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/021.gif" />و ...</p><p>تساوي دو مجموعه :</p><blockquote dir="ltr"><p>دو<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=83amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong><em>مجموعه</em></strong></a>ي A و B را مساوي گوييم هرگاه اعضاي همانند داشته باشند. دو مجموعه ي مساوي را با گذاشتن نماد تساوي << = >> بين آنها نمايش مي دهيم.</p><p>اگر دو مجموعه ي A و B با هم برابر نباشند، آن ها را دو << مجموعه ي مجزا >> گوييم و با</p><p>نماد <<<img alt="A مخالف B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/001.gif" />>> نمايش مي دهيم</p><p>زیر مجموعه</p></blockquote><p>اگر تمام اعضاي مجموعه ي مفروض A ، در مجموعه ي مفروض B نيز باشند، گوييم A زير مجموعه ي B است. براي نمايش دادن اين مفهوم از نماد << زير مجموعه >> يعني <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/023.gif" />>> با دو پارامتر در دو سمت آن به اين ترتيب استفاده مي كنيم كه مجموعه ي سمت چپ ِ نماد، زيرمجموعه ي مجموعه ي سمت راست است. پس عبارت <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/024.gif" />>> به صورت << A زير مجموعه ي B است >> تلقي مي شود.</p><p>نكته 1 : اگر<<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/024.gif" />>> و <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/025.gif" />>> ، يعني اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود يعني A=B . در رياضيات معمولا ً براي آنكه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان مي دهند كه هركدام زير مجموعه ي ديگري است.</p><p>با استفاده از سورها ،<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/024.gif" />را به صورت زير تعريف مي كنيم :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/026.gif" /></p><p>اگر<img alt="A زير مجموعه ي B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/002.gif" />و<img alt="A مخالف B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/001.gif" />، در اين صورت A را << زير مجموعه ي سره >> ي B مي ناميم و با نماد <<<img alt="A زير مجموعه ي سره ي B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/003.gif" />>> نمايش مي دهيم.</p><p>A زير مجموعه ي سره ي B است به اين مفهوم است كه علاوه بر تمام اعضاي A ، حداقل يك عضو ديگر در B وجود دارد كه اين عضو در A نيست. مثلا ً</p><p>اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/004.gif" />و<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/005.gif" />در اين صورت A زير مجموعه ي سره ي B است زيرا B علاوه بر 1و2، عضو 3 را نيز دارد.</p><p>اگر<img alt="A زير مجموعه ي B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/002.gif" />، در اين صورتB را << ابر مجموعه >> يA مي ناميم و اگر<img alt="A زير مجموعه ي سره ي B" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/003.gif" />، B را << ابر مجموعه ي سره>> ي A مي ناميم.</p><p>اجتماع مجموعه ها :</p><p>اگر A و B دو مجموعه ي دلخواه باشند، منظور از اجتماع A و B ، مجموعه اي است كه تمام اعضاي A وتمام اعضايB را داشته باشد و هيچ عضو اضافه ي ديگري نداشته باشد.</p><p>اجتماع مجموعه ها را با نماد << اجتماع >> يعني <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/027.gif" />>> نمايش مي دهند. پس نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/028.gif" /> >> ، << اجتماع A و B >> يا << A اجتماع B >> خوانده مي شود.</p><p>نمايش سوري <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/028.gif" />>> به شكل زير است :<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/029.gif" /></p><p></p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">نمودارهاي ون :</p><p dir="rtl"></p><p>معمولا ً براي درك بهتر اعمال مجموعه ها، از نمودار هايي موسوم به << نمودارهاي ون >> استفاده مي شود. در<< نمودارهاي ون >> مجموعه ها را با اشكال هندسي در صفحه ، معمولا ً دايره ، نمايش مي دهند.</p><p>نمودار ون زير اجتماع A و B را نمايش مي دهد.<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/028.gif" />تمام قسمت هاي آبي رنگ است.</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/030.jpg" /></p><p>نمودار ون اجتماع دو مجموعه</p><p></p><p>اجتماع مجموعه ها را مي توان براي چندين مجموعه نيز تعريف كرد . اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/031.gif" />، مجموعه هاي دلخواه باشند، اجتماع آن ها را با نماد<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/032.gif" />نمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/033.gif" /></p><p>اشتراك مجموعه ها :</p><p>اگر A و B دو مجموعه باشند، منظور از اشتراك A و B ، مجموعه ايست شامل آن عضوهايي كه هم در A و هم در B باشند و به جز اين عضوها، عضو ديگري نداشته باشد.اشتراك مجموعه ها را با نماد<< اشتراك >> يعني <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/034.gif" />>> نمايش مي دهند. پس نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/035.gif" />>> ، << اشتراك A و B >> يا << A اشتراك B >> خوانده مي شود.</p><p>با استفاده از سورها اشتراك A و B به صورت زير تعريف مي شود :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/036.gif" /></p><p>نمودار ون زير، قسمت قرمز رنگ، اشتراك دو مجموعه ي A و B را نمايش مي دهد .</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/031.jpg" /></p><p>نمودار ون اشتراك دو مجموعه</p><p dir="rtl"></p><p dir="rtl">گسترش ( تعميم ) اشتراك مجموعه ها :</p><p>اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/031.gif" />، مجموعه هاي دلخواه باشند، اشتراك آن ها را با نماد<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/037.gif" />نمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/038.gif" /></p><p></p><p>مجموعه هاي جدا از هم :</p><p>اگر دو مجموعه ي A و B هيچ عضو مشتركي نداشته باشند، آن ها را << جدا ازهم >> گوييم. يعني اشتراك دو مجموعه ي جداازهم تهي مي باشد.</p><p> تفاضل مجموعه ها :</p><p>براي دو مجموعه ي A و B ، منظور از تفاضل A از B ، مجموعه ايست شامل آن عضوها از B كه در A نيستند و جز آن ها عضو ديگري ندارد.</p><p><< تفاضل A از B >> را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/039.gif" />>> نمايش مي دهند و << متمم A نسبت به B >> نيز ناميده مي شود.</p><p>در زبان سورها، تفاضل A از B به صورت زير تعريف مي شود :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/040.gif" /></p><p>نمودارهاي ون << تفاضلA از B >> را اين گونه نمايش مي دهد( قسمت قرمزرنگ ):</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/032.jpg" /></p><p>نمودار ون تفاضل A از B</p><p>متمم يك مجموعه :</p><p>معمولا ً در هر مبحثي از رياضيات، از مجموعه اي به عنوان مجموعه ي مرجع ياد مي كنند. مجموعه ي مرجع، مجموعه ي اصلي در بحث مورد نظر است و تمام مجموعه هاي ديگر به عنوان زيرمجموعه اي از آن در نظر گرفته مي شوند. مثلا ً اگر در مورد اعداد صحبت كنيم ، مي توانيم مجموعه ي اعداد طبيعي را مجموعه ي مرجع در نظر بگيريم و در بحث توابع مختلط ، مجموعه ي اعداد مختلط مجموعه ي مرجع خواهد بود.به طور كلي مجموعه ي مرجع را با حرف انگليسي U نمايش مي دهند.</p><p>متمم يك مجموعه، با تعريف مجموعه ي مرجع معنا پيدا مي كند. اگر A يك زير مجموعه از مجموعه ي مرجع U باشد، متمم A در U را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/041.gif" />>> يا <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/042.gif" />>> نمايش مي دهند و شامل آن عضو ها از مجموعه ي مرجع است كه در A نباشند. به عبارت ساده تر اگر از مجموعه ي مرجع، اعضاي مجموعه ي A را برداريم ، آنچه باقي مي ماند را <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/041.gif" />>> مي ناميم.</p><p>به زبان سورها متمم A به صورت زير تعريف مي شود :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/043.gif" /></p><p>در نمودار هاي ون، مرسوم است كه مجموعه ي مرجع را با مستطيل نمايش مي دهند. در نمودار ون زير قسمت قرمز رنگ متمم A را نمايش مي دهد.</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/033.jpg" /></p><p>نمودار ون متمم A</p><p>تفاضل متقارن :</p><p>براي تفاضل متقارن دو مجموعه ي A و B سه تعريف وجود دارد كه در زير آمده است. اثبات اينكه اين تعريف ها معادل اند در بخش قضيه ها آمده است. تفاضل متقارن A و B را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/044.gif" />>> نمايش مي دهيم.</p><p>تعريف 1 تفاضل متقارن : براي دو مجموعه ي A و B ، تفاضل متقارن A و B را به صورت اجتماع ِ تفاضل A از B و تفاضل B از A تعريف مي كنيم. پس :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/045.gif" /></p><p>تعريف 2 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/044.gif" />>> برابر با تفاضل اشتراك A و B از اجتماع A و B . يعني :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/046.gif" /></p><p>تعريف 3 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/044.gif" />>> مجموعه ي آن عضوهايي از A و B است كه يا در A باشند و يا در B وليدر هردو نباشند. پس :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/047.gif" /></p><p>البته تفاضل متقارن A و B را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/048.gif" />>> نيز نمايش مي دهند.</p><p>در نمودار ون زير، ناحيه ي قرمز رنگ تفاضل متقارن A و B است :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/034.jpg" /></p><p>نمودار تفاضل متقارنA وB</p><p>مجموعه ي تواني :</p><p>اگر A مجموعه ي دلخواه باشد، مجموعه اي كه شامل تمام زير مجموع هاي A باشد و جز آن عضو ديگري نداشته باشد، مجموعه ي تواني A ناميده مي شود. پس مجموعه ي تواني A ، مجموعه اي از مجموعه هاست كه اين مجموعه ها زير مجموعه ي A هستند.</p><p><< مجموعه ي تواني A >> را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/049.gif" />>> نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي شود :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/aksmath/sets/droos/050.gif" /></p><p>حاصلضرب دكارتي مجموعه ها</p><p>اگر A و B دو مجموعه باشند، << حاصلضرب دكارتي >> آن ها را با نماد <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/001.gif" />>> نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/002.gif" /></p><p>بنابر اين حاصلضرب دكارتي دو مجموعه ، يك مجموعه است و اعضاي آن دوتايي هاي مرتب ( زوج هاي مرتب ) هستند. در هر دوتايي مرتب، مؤلفه ي اول ( a ) از مجموعه ي اول ( A ) و مولفه ي دوم ( b ) از مجموعه ي دوم ( B ) انتخاب مي شود.</p><p>مثال : اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/003.gif" />و<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/004.gif" />در اين صورت</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/005.gif" /></p><p>همچنين</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/006.gif" /></p><p>اين مثال نشان مي دهد كه حاصلضرب دكارتي مجموعه ها، جابجايي نست. يعني در حالت كلي <<<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/007.gif" />>>، زيرا اگر A و B مجموعه هاي ناتهي و مجزا باشند، عضوي مانند x در A هست كه در B نيست. پس<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/001.gif" />داراي دوتايي مرتبي با مولفه ي اول x است. اما<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/008.gif" />چنين دوتايي مرتبي ندارد.</p><p></p><p>گسترش ( تعميم ) حاصلضرب دكارتي :</p><p>حاصلضرب دكارتي مجموعه ها را مي توان به بيش از دو مجموعه گسترش داد. حاصلضرب دكارتي n مجموعه ي<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/009.gif" />به صورت زير تعريف مي شود :</p><p><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/010.gif" /></p><p>درواقع حاصلضرب دكارتي n مجموعه، مجموعه ي n-تايي هاي مرتبي است كه هر n-تايي مرتب، مؤلفه ي اول خود را از مجموعه ي اول و مؤلفه ي دوم خود را از مجموعه ي دوم و ... و مؤلفه ي n-ام خود را از مجموعه ي n-ام مي گيرد</p><p>اندازه ي مجموعه ها</p><p>اگر A يك مجموعه باشد، منظور از << اندازه ي A >>، تعداد عضوهاي A است. مثلا ً اگر<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/008.gif" />و<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/definitions/006.gif" />باشند، اندازه ي A برابر با 4 و اندازه ي B برابر با 3 است زيرا A ، 4 عضو وB ، 3 عضو دارد.</p><p>اندازه ي مجموعه يA را با نماد <<|A| >> نمايش مي دهيم .</p><p><font color="#ff00ff" size="4">مجموعه ي متناهي و نامتناهي</font></p><p>اگر << اندازه ي مجموعه ي A يك عدد طبيعي >> باشد ، گوييم << A يك مجموعه ي متناهي >> است. مجموعه اي كه متناهي نباشد، يعني اندازه ي آن را نتوانيم با يك عدد طبيعي نشان دهيم، يك << مجموعه ي نامتناهي >> ناميده مي شود.</p><p>مجموعه ي اعداد زوج كوچكتر از 100 يك مجموعه ي متناهي است و مجموعه ي اعداد حقيقي بين 3و4 يك مجموعه ي نامتناهي است زيرا اندازه ي مجموعه ي اول يك عدد طبيعي است و اندازه ي مجموعه ي دوم يك عدد طبيعي نيست.</p><p align="right"><span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">اگر A و B<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">دو مجموعه ي<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=108amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong><font color="#666666">متناهي</font></strong></a>باشند، در اين صورت<img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/011.gif" align="absMiddle" /><span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">. يعني اندازه ي<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=99amp;Itemid=99999999amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong><font color="#666666">حاصلضرب دكارتي</font></strong></a>A و B<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">، برابر است با حاصلضرب<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=107amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong><font color="#666666">اندازه ي A</font></strong></a><span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">و<a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=107amp;Itemid=54amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><strong><font color="#666666">اندازه ي B</font></strong></a>.</span></span></span></span></span></p><p align="right"><span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">زيرا هر<strong><a href="http://www.sinuous83.com/index.php?option=com_contentamp;task=viewamp;id=104amp;Itemid=56amp;lang=pr" style="color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;"><font color="#666666">مؤلفه ي اول</font></a></strong><img alt="" src="http://www.sinuous83.com/images/Mathpic/sets/cartesian_p/001.gif" align="absMiddle" /><span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">را از مجموعه ي A<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">و از بين |A|<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">عضو انتخاب مي كنيم و پس از آن براي هر مؤلفه ي اول، مؤلفه ي دوم ِ دوتايي مرتب را از مجموعه ي B<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">و از بين |B|<span lang="FA" dir="rtl" new="" times="" style="font-size: 14pt;">عضو انتخاب مي كنيم.</span></span></span></span></span></span></p></div></div><p style="text-align: center;"><span style="font-size: 14pt; color: rgb(68, 68, 68); font-family: Tahoma; line-height: 1.5em; text-align: right;">منبع: سایت</span><a href="http://www.sinuous83.com/" style="font-size: 14pt; font-family: Tahoma; line-height: 1.5em; text-align: right; color: rgb(34, 119, 221); text-decoration: none;">www.sinuous83.com</a></p>
↧