آموزش مجموعه ها- نظریه مجموعه ها

<<مجموعه چيست ؟ >>يا <<به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ >>

اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : <<مجموعه گردايه اي از اشياء است. >>مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...

اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:<<گردايه چيست؟ >> . <<گردايه، انبوهي از چيزهاست. >>و ...

اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟

در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.

ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :

<<مجموعه چيست ؟ >>يا <<به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ >>

اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : <<مجموعه گردايه اي از اشياء است. >>مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...

اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:<<گردايه چيست؟ >> . <<گردايه، انبوهي از چيزهاست. >>و ...

اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟

در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.

ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :

كانتور مي گويد : <<مجموعه گردايه اي از اشياء متمايز در شعور ماست كه به اين اشياي ِ مجزا، اعضاي مجموعه مي گوييم. >>

<<مجموعه ي تهي >>مجموعهاي كه هيچ عضوي ندارد، را با نماد {} يانمايش مي دهند. مجموعه ي ناتهي را به دو روش زير بين دو كمانك <<{>>و <<}>>نمايش مي دهند :

1.مجموعهرا با نوشتن اعضاي تمام اعضايش نمايش مي دهيم و براي جدا كردن اعضا از كاما يا ويرگول استفاده مي كنيم. مانند :

2.مجموعهي اشيايي كه در يك خاصيت معين صدق مي كنند. مثلا ً مجموعه ي اعداد طبيعي فرد را به صورت زير نمايش مي دهيم.

{x عددي فرد است | x عددي طبيعي است }

به طور كلي اگريك خاصيت درباره ي x باشد ،مجموعهي تمام xهايي كه داراي خاصيتهستند را با نمادنمايش مي دهيم.در اصول موضوعه ي مجموعه ها، اين موضوع با اندكي تغيير، به <<اصل تصريح >>مشهور است.

نام گذاري مجموعه ها :

مجموعهها را با حروف بزرگ انگليسي نام گذاري مي كنند. البته برايمجموعههاي مهم مانند مجموعه ي اعداد طبيعي، حسابي، گويا، حقيقي و مختلط از حروف خاصي استفاده مي شود كه به ترتيب عبارتند از :، W ،،،وكه به زودي آنها را معرفي خواهيم كرد.

نام گذاري و نمايش اعضاي مجموعه ها :

مرسوم است كه اعضاي يكمجموعهرا با حروف كوچك انگليسي نام گذاري مي كنند. براي نمايش دادن مفهوم عضويت در مجموعه ها از نمادي با همين نام استفاده مي شود. <<نماد عضويت >>، <<>>با دو پارامتر در دو طرف آن بكار مي رود. آنكه در سمت چپ ِ نماد قرار مي گيرد، عضوي از طرف راست آن است. پس به اين ترتيب، اگر A يك مجموعه و x عضوي از آن باشد، به صورت <<>>نوشته مي شود كه << x عضوي از A است >>يا << x در A است >>خوانده مي شود.

اگر براي دو مجموعه ي A و B بنويسيم <<>>به اين مفهوم است كه مجموعه ي B ، مجموعه ي A را به عنوان يك عضو داراست.

همچنين براي آنكه بخواهيم بگوييم <<عضوي در مجموعه اي نيست >>از نماد <<عدم عضويت>>، <<>>مانند نماد عضويت استفاده مي كنيم. پس در مثال قبل مي توانيم بنويسيم <<>>كه خوانده مي شود << A در B نيست >>يا << A عضوي از B نيست. >> .

با اين نمادها مي توانيم مجموعه هاي اعداد طبيعي، حسابي، صحيح، گويا، گنگ، حقيقي و مختلط را به صورت نمادي نمايش دهيم. منظور ما از اين مجموعه ها به قرار زير است :

مجموعه ي اعداد طبيعي () :.

هر گاه بخواهيم بگوييم كه اعداد يا نماد ها به ترتيب خاصي كه از قبل شروع شده است، ادامه مي يابند از نماد <<>>استفاده مي كنيم.

مجموعه ي اعداد حسابي ( W ) :.

مجموعه ي اعداد صحيح () :.

مجموعه ي اعداد گويا () :.

مجموعه ي اعداد حقيقي () : مجموعه اي كه شامل تمام اعداد گويا و گنگ مي باشد.

اعداد گنگ :اعدادي هستند كه نمي توانيم آنها را به صورت عدد گويا نمايش دهيم مانند،و ...

تساوي دو مجموعه :

دومجموعهي A و B را مساوي گوييم هرگاه اعضاي همانند داشته باشند. دو مجموعه ي مساوي را با گذاشتن نماد تساوي << = >>بين آنها نمايش مي دهيم.

اگر دو مجموعه ي A و B با هم برابر نباشند، آن ها را دو <<مجموعه ي مجزا >>گوييم و با

نماد <<>>نمايش مي دهيم

زیر مجموعه

اگر تمام اعضاي مجموعه ي مفروض A ، در مجموعه ي مفروض B نيز باشند، گوييم A زير مجموعه ي B است. براي نمايش دادن اين مفهوم از نماد <<زير مجموعه >>يعني <<>>با دو پارامتر در دو سمت آن به اين ترتيب استفاده مي كنيم كه مجموعه ي سمت چپ ِ نماد، زيرمجموعه ي مجموعه ي سمت راست است. پس عبارت <<>>به صورت << A زير مجموعه ي B است >>تلقي مي شود.

نكته 1 : اگر<<>>و <<>>، يعني اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود يعني A=B . در رياضيات معمولا ً براي آنكه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان مي دهند كه هركدام زير مجموعه ي ديگري است.

با استفاده از سورها ،را به صورت زير تعريف مي كنيم :

اگرو، در اين صورت A را <<زير مجموعه ي سره >>ي B مي ناميم و با نماد <<>>نمايش مي دهيم.

A زير مجموعه ي سره ي B است به اين مفهوم است كه علاوه بر تمام اعضاي A ، حداقل يك عضو ديگر در B وجود دارد كه اين عضو در A نيست. مثلا ً

اگرودر اين صورت A زير مجموعه ي سره ي B است زيرا B علاوه بر 1و2، عضو 3 را نيز دارد.

اگر، در اين صورتB را <<ابر مجموعه >>يA مي ناميم و اگر، B را <<ابر مجموعه ي سره>>ي A مي ناميم.

اجتماع مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه ي دلخواه باشند، منظور از اجتماع A و B ، مجموعه اي است كه تمام اعضاي A وتمام اعضايB را داشته باشد و هيچ عضو اضافه ي ديگري نداشته باشد.

اجتماع مجموعه ها را با نماد <<اجتماع >>يعني <<>>نمايش مي دهند. پس نماد <<>>، <<اجتماع A و B >>يا << A اجتماع B >>خوانده مي شود.

نمايش سوري <<>>به شكل زير است :

نمودارهاي ون :

معمولا ً براي درك بهتر اعمال مجموعه ها، از نمودار هايي موسوم به <<نمودارهاي ون >>استفاده مي شود. در<<نمودارهاي ون >>مجموعه ها را با اشكال هندسي در صفحه ، معمولا ً دايره ، نمايش مي دهند.

نمودار ون زير اجتماع A و B را نمايش مي دهد.تمام قسمت هاي آبي رنگ است.

نمودار ون اجتماع دو مجموعه

اجتماع مجموعه ها را مي توان براي چندين مجموعه نيز تعريف كرد . اگر، مجموعه هاي دلخواه باشند، اجتماع آن ها را با نمادنمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم :

اشتراك مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه باشند، منظور از اشتراك A و B ، مجموعه ايست شامل آن عضوهايي كه هم در A و هم در B باشند و به جز اين عضوها، عضو ديگري نداشته باشد.اشتراك مجموعه ها را با نماد<<اشتراك >>يعني <<>>نمايش مي دهند. پس نماد <<>>، <<اشتراك A و B >>يا << A اشتراك B >>خوانده مي شود.

با استفاده از سورها اشتراك A و B به صورت زير تعريف مي شود :

نمودار ون زير، قسمت قرمز رنگ، اشتراك دو مجموعه ي A و B را نمايش مي دهد .

نمودار ون اشتراك دو مجموعه

گسترش ( تعميم ) اشتراك مجموعه ها :

اگر، مجموعه هاي دلخواه باشند، اشتراك آن ها را با نمادنمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم :

مجموعه هاي جدا از هم :

اگر دو مجموعه ي A و B هيچ عضو مشتركي نداشته باشند، آن ها را <<جدا ازهم >>گوييم. يعني اشتراك دو مجموعه ي جداازهم تهي مي باشد.

تفاضل مجموعه ها :

براي دو مجموعه ي A و B ، منظور از تفاضل A از B ، مجموعه ايست شامل آن عضوها از B كه در A نيستند و جز آن ها عضو ديگري ندارد.

<<تفاضل A از B >>را با نماد <<>>نمايش مي دهند و <<متمم A نسبت به B >>نيز ناميده مي شود.

در زبان سورها، تفاضل A از B به صورت زير تعريف مي شود :

نمودارهاي ون <<تفاضلA از B >>را اين گونه نمايش مي دهد( قسمت قرمزرنگ ):

نمودار ون تفاضل A از B

متمم يك مجموعه :

معمولا ً در هر مبحثي از رياضيات، از مجموعه اي به عنوان مجموعه ي مرجع ياد مي كنند. مجموعه ي مرجع، مجموعه ي اصلي در بحث مورد نظر است و تمام مجموعه هاي ديگر به عنوان زيرمجموعه اي از آن در نظر گرفته مي شوند. مثلا ً اگر در مورد اعداد صحبت كنيم ، مي توانيم مجموعه ي اعداد طبيعي را مجموعه ي مرجع در نظر بگيريم و در بحث توابع مختلط ، مجموعه ي اعداد مختلط مجموعه ي مرجع خواهد بود.به طور كلي مجموعه ي مرجع را با حرف انگليسي U نمايش مي دهند.

متمم يك مجموعه، با تعريف مجموعه ي مرجع معنا پيدا مي كند. اگر A يك زير مجموعه از مجموعه ي مرجع U باشد، متمم A در U را با نماد <<>>يا <<>>نمايش مي دهند و شامل آن عضو ها از مجموعه ي مرجع است كه در A نباشند. به عبارت ساده تر اگر از مجموعه ي مرجع، اعضاي مجموعه ي A را برداريم ، آنچه باقي مي ماند را <<>>مي ناميم.

به زبان سورها متمم A به صورت زير تعريف مي شود :

در نمودار هاي ون، مرسوم است كه مجموعه ي مرجع را با مستطيل نمايش مي دهند. در نمودار ون زير قسمت قرمز رنگ متمم A را نمايش مي دهد.

نمودار ون متمم A

تفاضل متقارن :

براي تفاضل متقارن دو مجموعه ي A و B سه تعريف وجود دارد كه در زير آمده است. اثبات اينكه اين تعريف ها معادل اند در بخش قضيه ها آمده است. تفاضل متقارن A و B را با نماد <<>>نمايش مي دهيم.

تعريف 1 تفاضل متقارن : براي دو مجموعه ي A و B ، تفاضل متقارن A و B را به صورت اجتماع ِ تفاضل A از B و تفاضل B از A تعريف مي كنيم. پس :

تعريف 2 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، <<>>برابر با تفاضل اشتراك A و B از اجتماع A و B . يعني :

تعريف 3 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، <<>>مجموعه ي آن عضوهايي از A و B است كه يا در A باشند و يا در B وليدر هردو نباشند. پس :

البته تفاضل متقارن A و B را با نماد <<>>نيز نمايش مي دهند.

در نمودار ون زير، ناحيه ي قرمز رنگ تفاضل متقارن A و B است :

نمودار تفاضل متقارنA وB

مجموعه ي تواني :

اگر A مجموعه ي دلخواه باشد، مجموعه اي كه شامل تمام زير مجموع هاي A باشد و جز آن عضو ديگري نداشته باشد، مجموعه ي تواني A ناميده مي شود. پس مجموعه ي تواني A ، مجموعه اي از مجموعه هاست كه اين مجموعه ها زير مجموعه ي A هستند.

<<مجموعه ي تواني A >>را با نماد <<>>نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي شود :

حاصلضرب دكارتي مجموعه ها

اگر A و B دو مجموعه باشند، <<حاصلضرب دكارتي >>آن ها را با نماد <<>>نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم :

بنابر اين حاصلضرب دكارتي دو مجموعه ، يك مجموعه است و اعضاي آن دوتايي هاي مرتب ( زوج هاي مرتب ) هستند. در هر دوتايي مرتب، مؤلفه ي اول ( a ) از مجموعه ي اول ( A ) و مولفه ي دوم ( b ) از مجموعه ي دوم ( B ) انتخاب مي شود.

مثال : اگرودر اين صورت

همچنين

اين مثال نشان مي دهد كه حاصلضرب دكارتي مجموعه ها، جابجايي نست. يعني در حالت كلي <<>>، زيرا اگر A و B مجموعه هاي ناتهي و مجزا باشند، عضوي مانند x در A هست كه در B نيست. پسداراي دوتايي مرتبي با مولفه ي اول x است. اماچنين دوتايي مرتبي ندارد.

گسترش ( تعميم ) حاصلضرب دكارتي :

حاصلضرب دكارتي مجموعه ها را مي توان به بيش از دو مجموعه گسترش داد. حاصلضرب دكارتي n مجموعه يبه صورت زير تعريف مي شود :

درواقع حاصلضرب دكارتي n مجموعه، مجموعه ي n-تايي هاي مرتبي است كه هر n-تايي مرتب، مؤلفه ي اول خود را از مجموعه ي اول و مؤلفه ي دوم خود را از مجموعه ي دوم و ... و مؤلفه ي n-ام خود را از مجموعه ي n-ام مي گيرد

اندازه ي مجموعه ها

اگر A يك مجموعه باشد، منظور از <<اندازه ي A >>، تعداد عضوهاي A است. مثلا ً اگروباشند، اندازه ي A برابر با 4 و اندازه ي B برابر با 3 است زيرا A ، 4 عضو وB ، 3 عضو دارد.

اندازه ي مجموعه يA را با نماد <<|A| >>نمايش مي دهيم .

مجموعه ي متناهي و نامتناهي

اگر <<اندازه ي مجموعه ي A يك عدد طبيعي >>باشد ، گوييم << A يك مجموعه ي متناهي >>است. مجموعه اي كه متناهي نباشد، يعني اندازه ي آن را نتوانيم با يك عدد طبيعي نشان دهيم، يك <<مجموعه ي نامتناهي >>ناميده مي شود.

مجموعه ي اعداد زوج كوچكتر از 100 يك مجموعه ي متناهي است و مجموعه ي اعداد حقيقي بين 3و4 يك مجموعه ي نامتناهي است زيرا اندازه ي مجموعه ي اول يك عدد طبيعي است و اندازه ي مجموعه ي دوم يك عدد طبيعي نيست.

اگر A و Bدو مجموعه يمتناهيباشند، در اين صورت. يعني اندازه يحاصلضرب دكارتيA و B، برابر است با حاصلضرباندازه ي Aواندازه ي B.

زيرا هرمؤلفه ي اولرا از مجموعه ي Aو از بين |A|عضو انتخاب مي كنيم و پس از آن براي هر مؤلفه ي اول، مؤلفه ي دوم ِ دوتايي مرتب را از مجموعه ي Bو از بين |B|عضو انتخاب مي كنيم.